7869. 두 원

https://www.acmicpc.net/problem/7869

7869번: 두 원

 

문제 설명

두 원이 주어졌을 때, 두 원이 교차하는 영역의 넓이를 소수점 셋째자리까지 구하면 된다.

 

 

solve

문제에서 제시하는 조건은 각 원의 중심 좌표와 반지름이다.

코사인 법칙을 활용해 문제를 해결할 수 있다.

 

먼저 두 원의 위치를 파악한다.

두 원의 중심을 잇는 선분을 긋고 이 선분의 길이를 d라고 하자.

1. 두 원이 멀리 떨어져 교차하는 영역이 없는 경우. ( d > r1 + r2)

2. 두 원이 외접하는 경우 ( d = r1 + r2)

3. 두 원이 교차하지만 어느 한 원이 다른 원에 포함되어있지는 않은 경우. (d < r1 + r2)

4. 어느 한 원이 다른 원 안에 존재하는 경우. (r1 + d > r2  or r2 + d > r1)

5. 두 원이 내접하는 경우. (r1 + d = r2 or r2 + d  = r1)

 

1번과 2번은 두 원이 교차하는 부분이 없으므로 0을 출력하면 된다.

 

4번과 5번은 두 원중 작은 원이 다른 한 원 안에 포함되어있는 경우이기 때문에 작은 원의 넓이를 출력하면 된다.

 

문제는 3번이다.

이 상황에서 문제를 해결하기 위해서는 제2코사인법칙에 대한 지식이 필요하다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BD%94%EC%82%AC%EC%9D%B8_%EB%B2%95%EC%B9%99

코사인 법칙 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

우리는 두 원의 거리와 두 원의 반지름을 알고 있기 때문에, 이를 기반으로 삼각형을 만들면 이 삼각형의 각에 대한 정보를 알 수 있다.

 

먼저 코사인법칙에 대해 언급하면

세 각이 \( A, B, C \)  이고 마주하는 변을 \(a, b, c \)  라고 했을 때,   \( c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC \)  가 성립한다.

 

두 원의 중심을 잇고, 원의 중심과 원들이 만나는 점을 이으면

두 원의 중심거리과 반지름으로 이루어진 삼각형 두 개를 만들 수 있다.

이 삼각형에 코사인법칙을 적용하면 교차하는 각 원의 부채꼴의 중심각을 알 수 있다.

 

\(  cosC = \frac{(a^2 + b^2 - c^2)}{2ab} \) 이므로 \( C = arccos(\frac{(a^2 + b^2 - c^2)}{2ab}) \) 이다.

\(C\)는 부채꼴의 중심각의 반으로 두면 \(2C\)를 구하면 중심각을 알 수 있다.

 

두 원이 교차하는 넓이는

두 부채꼴의 넓이 합 - 부채꼴에 포함된 부분의 삼각형의 넓이의 합을 계산한 결과이다.

 

 

code

 

 

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define swap(a, b) (a) ^= (b) ^= (a) ^= (b)
#define endl '\n'
#define int long long
 
using pii = pair<int, int>;
using vi = vector<int>;
using vvi = vector<vector<int>>;
 
const double PI = acos(-1.0);
const double EPS = 1e-9;
const int dx[] = {1, -1, 0, 0};
const int dy[] = {0, 0, 1, -1};
 
class circle
{
public:
    double x, y, r;
    circle() {}
    circle(double x, double y, double r)
    {
        this->x = x;
        this->y = y;
        this->r = r;
    }
};
 
double getDist(circle a, circle b)
{
    return sqrt(pow((a.x - b.x), 2) + pow((a.y - b.y), 2));
}
 
bool equals(double a, double b)
{
    return fabs(a - b) < EPS;
}
 
int32_t main()
{
    cin.sync_with_stdio(NULL);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    cout.precision(3);
    cout << fixed;
    circle c[2];
    for (int i = 0; i < 2; i++)
    {
        cin >> c[i].x >> c[i].y >> c[i].r;
    }
 
    double dist = getDist(c[0], c[1]);
    if (dist > c[0].r + c[1].r || equals(dist, c[0].r + c[1].r))
    {
        cout << 0.000;
        return 0;
    }
    if (fabs(c[0].r - c[1].r) >= dist)
    {
        cout << PI * min(c[0].r * c[0].r, c[1].r * c[1].r);
        return 0;
    }
 
    double theta1 = 2.0 * acos((c[0].r * c[0].r + dist * dist - c[1].r * c[1].r) / (2.0 * c[0].r * dist));
    double theta2 = 2.0 * acos((c[1].r * c[1].r + dist * dist - c[0].r * c[0].r) / (2.0 * c[1].r * dist));
 
    double ans = c[0].r * c[0].r * theta1 / 2.0 + c[1].r * c[1].r * theta2 / 2.0;
    ans -= c[0].r * c[0].r * sin(theta1) / 2.0;
    ans -= c[1].r * c[1].r * sin(theta2) / 2.0;
 
    cout << ans;
 
    return 0;
}