9527. 1의 개수 세기

https://www.acmicpc.net/problem/9527

9527번: 1의 개수 세기

 

문제 설명

두 자연수 A, B가 주어졌을 때, A부터 B까지의 수에 대해 2진수로 표현했을 때 1의 개수의 합을 구하는 문제이다.

문제에 따르면, \( f(x) \) 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

=> \( x \)를 이진수로 표현했을 때 1의 개수

 

문제에서 원하는 값은 다음 식의 결과이다.

\( \sum_{x=A}^Bf(x) \)

 

 

A부터 B까지 모든 자연수에 대한 \( f(x) \)의 합이므로 1부터 B까지 계산한 결과에서 1부터 A-1까지 계산한 결과를 빼는 것으로 문제 방향을 잡았다.

 

\( \sum_{x=A}^Bf(x) \)

\( = \sum_{x=1}^Bf(x) \) \( - \sum_{x=1}^{A-1}f(x) \)

 

이렇게 바꾸면 1부터 K까지의 이진수로 표현했을 때 1의 개수의 합을 구하기만 하면된다.

어떤 진법에서 한자리씩 올라갈 때마다 해당 자리의 아래자리들은 지금까지의 수를 반복하므로, 1의 수 같다.

예를 들어, 8을 이진수로 표현하면 1000이 된다. 이 수부터 한자리 올라가기 전까지의 수는 1000~1111이 된다.

가장 큰 자리 수를 빼면 000~111까지 반복임을 알 수 있다.

 

이러한 규칙을 사용해서 2진수의 자리를 탐색하면서 1을 찾을 때마다 해당 수까지의 합을 더하고 그 윗자리 수에서 1의 개수 * 해당 거듭제곱 값 + 1을 하게되면 우리가 원하는 값을 찾을 수 있다.

 

 

 

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define endl '\n'
#define int long long
 
int32_t main()
{
    cin.sync_with_stdio(NULL);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
 
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    a--;
    vector<int> ps, ones;
    ones.push_back(0);
    int uppers = 1, ucnt = 1, osums = 0;
    for(int i=b*4;i>0;i >>= 1)
    {
        ps.push_back(uppers);
        ucnt++;
        ones.push_back(osums+uppers);
        osums += ones.back();
        uppers <<= 1;
    }
    reverse(ps.begin(), ps.end());
    vector<int> pxones(ones.size(), 0);
    for(size_t i=1;i<ones.size();i++)
        pxones[i] = pxones[i-1] + ones[i];
    reverse(pxones.begin(), pxones.end());
    
    int acnt = 0, bcnt = 0, aocnt = 0, bocnt = 0;
    for(size_t i=0;i<ps.size();i++)
    {
        if(a&ps[i])
        {
            acnt += pxones[i+1] + ps[i] * aocnt + 1;
            aocnt++;
        }
        if(b&ps[i])
        {
            bcnt += pxones[i+1] + ps[i] * bocnt + 1;
            bocnt++;
        }
    }
    cout << bcnt-acnt << endl;
    return 0;
}